Все авторы
>>
Кожевников П.А. 
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.
В выражении (x4 + x³ – 3x² + x + 2)2006 раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.
Докажите, что при некоторой степени переменной x получился отрицательный коэффициент.
Существуют ли действительные числа a , b и c такие, что при
всех действительных x и y выполняется неравенство
На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху
изображен на левом рисунке.
После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рисунке справа.
Могло ли колес быть: а) три; б) два?
Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AD и дугой BD некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.
Квадрат разрезали на несколько частей. Переложив эти части, из них всех сложили треугольник. Затем к этим частям добавили еще одну фигурку – и оказалось, что и из нового набора фигурок можно сложить как квадрат, так и треугольник. Покажите, как такое могло бы произойти (нарисуйте, как именно эти два квадрата и два треугольника могли бы быть составлены из фигурок).
Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра SABC проходит через вершины A , B и C и вторично пересекает ребра SA , SB и SC в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A1 , B1 и C1 , пересекаются в точке O . Докажите, что O – центр сферы, описанной около тетраэдра SA1B1C1 .
Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω1 касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω2 касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.
Все задачи автора Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 79]
Задача 108220 |
|
|
Окружность, вписанная в угол с вершиной O касается его сторон в точках A и B , K – произвольная точка на меньшей из двух дуг AB этой окружности. На прямой OB взята точка L такая, что прямые OA и KL параллельны. Пусть M – точка пересечения окружности , описанной около треугольника KLB , с прямой AK , отличная от K . Докажите, что прямая OM касается окружности .
|
|
Решение |
Задача 115360 |
|
|
Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a5 делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
|
|
|
Решение |
Задача 108149 |
|
Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω1 касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω2 касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.
|
|
Решение |
Задача 108248 |
|
|
В выпуклом четырёхугольнике ABCD провели биссектрисы la, lb, lc и ld внешних углов при вершинах A, B, C и D соответственно. Точки пересечения прямых la и lb, lb и lc, lc и ld, ld и la обозначили через K, L, M и N. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки K на AB, из L на BC, из M на CD пересекаются в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный.
|
|
|
Решение |
Задача 66790 |
|
|
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.
|
|
|
Решение |
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 79]
