Точка $M$ – середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точке $E$. Пусть $ED$ пересекает $\omega_1$ в точке $F$, а $FB$ пересекает $AD$ в $G$. Докажите, что $GM$ – биссектриса угла $BGD$.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 81]      

Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC биссектриса AL, серединный перпендикуляр к стороне AB и высота BK пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектриса AL, серединный перпендикуляр к AC и высота CH, также пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Окружность ω касается сторон угла BAC в точках B и C. Прямая l пересекает отрезки AB и AC в точках K и L соответственно. Окружность ω пересекает l в точках P и Q. Точки S и T выбраны на отрезке BC так, что  KS || AC  и  LT || AB.  Докажите, что точки P, Q, S и T лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

В пространстве даны три отрезка A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке P. Обозначим через O_ijk центр сферы, проходящей через точки A_i, B_j, C_k и P. Докажите, что прямые O₁₁₁O₂₂₂, O₁₁₂O₂₂₁, O₁₂₁O₂₁₂ и O₂₁₁O₁₂₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

На окружности отмечено 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке.
  а) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечётны.
  б) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были чётны?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 81]