Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98372

Темы:   [ Произвольные многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Движения (прочее) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Верны ли утверждения:
  а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движением.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107770

Темы:   [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Системы линейных уравнений ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть l_A, l_B, l_C и l_D – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть l_P и l_Q – внешние биссектрисы углов соответственно A_PD и A_QB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через M_AC точку пересечения l_A и l_C, через M_BD – l_B и l_D, через M_PQ – l_P и l_Q. Докажите, что, если все три точки M_AC, M_BD и M_PQ существуют, то они лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108003

Темы:   [ Центр масс ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108682

Темы:   [ Радикальная ось ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Теорема синусов ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω₁ и ω₂, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω₁ и ω₂, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω₁ и ω₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109193

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть   = ,  где    – несократимая дробь.
Докажите, что неравенство  b_n+1 < b_n выполнено для бесконечного числа натуральных n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями