ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Прасолов В.В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 98418

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

В таблицу записано девять чисел:

Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:
a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3.
Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов:   a1b1c1 + a2b2c2 + a3b3c3 = a1a2a3 + b1b2b3 + c1c2c3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55136

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных
    а) для  n = 4,   б) для  n = 3,   в) для произвольного n.
Прислать комментарий     Решение


Задача 55380

Темы:   [ Векторы ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK1, MK2, MK3 на его стороны. Докажите, что

$\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ . $\displaystyle \overrightarrow{MO}$,

где O — центр треугольника.

Прислать комментарий     Решение


Задача 98030

Темы:   [ Разрезания на параллелограммы ]
[ Шестиугольники ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Правильный шестиугольник разрезан на N равновеликих параллелограммов. Доказать, что N делится на 3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98130

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A1B1C1, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B1C1 || PA,  C1A1 || PB,  A1B1 || PC). Через точки A1, B1, C1 проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A1B1C1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .