Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
В таблицу записано девять чисел:
Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:
a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3.
Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её
столбцов:
a1b1c1 +
a2b2c2 +
a3b3c3 =
a1a2a3 +
b1b2b3 +
c1c2c3.
Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных
а) для n = 4, б) для n = 3, в) для произвольного n.
Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника
опущены перпендикуляры MK1, MK2, MK3 на его стороны. Докажите, что
где
O — центр треугольника.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Правильный шестиугольник разрезан на N равновеликих параллелограммов. Доказать, что N делится на 3.
Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A1B1C1, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B1C1 || PA, C1A1 || PB, A1B1 || PC). Через точки A1, B1, C1 проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A1B1C1.
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]
Все авторы
>>
Прасолов В.В. 
