Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Произволов В.В.

Вячеслав Викторович Произволов (род. в 1939) - математик, к.ф-м.н., автор книги "Задачи на вырост"

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 9 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На числовой оси отмечено бесконечно много точек с натуральными координатами. Когда по оси катится колесо, каждая отмеченная точка, по которой проехало колесо, оставляет на нём точечный след. Докажите, что можно выбрать такое действительное $R$, что если прокатить по оси, начиная из нуля, колесо радиуса $R$, то на каждой дуге колеса величиной в $1^\circ$ будет след хотя бы одной отмеченной точки.

Вниз   Решение


Найдите все такие натуральные n, что при некоторых взаимно простых x и y и натуральном  k > 1,  выполняется равенство  3n = xk + yk.

ВверхВниз   Решение


Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.
Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).

ВверхВниз   Решение


На доске написано n выражений вида  *x² + *x + * = 0  (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

ВверхВниз   Решение


На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут перекрываться). Докажите, что можно воткнуть несколько булавок таким образом, что каждый лист будет прикреплен к столу ровно одной булавкой.

ВверхВниз   Решение


Посреди пустого бассейна стоит квадратная платформа 50 × 50 сантиметров, расчерченная на клеточки 10× 10 см. На клетки платформы Лена ставит башенки из кубиков 10× 10× 10 см. Потом Таня включает воду.

Если высоты башенок были такие, как в таблице справа, то при уровне воды 5 см был 1 остров, при уровне воды 15 см было два острова (если острова «граничат по углу», то считаются отдельными островами), а при уровне воды 25 см все башенки оказались закрыты водой и стало 0 островов.

Придумайте, какие башенки из кубиков можно поставить, чтобы количество островов было следующим:

Уровень воды (см) 515253545
Количество островов25250

В ответе напишите в каждой клетке квадрата 5 на 5, сколько кубиков на ней стоит.

ВверхВниз   Решение


В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

ВверхВниз   Решение


Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 1991?

ВверхВниз   Решение


Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника:  AEF, BGH, CIJ, DKL  (EF, GH, IJ, KL – дуги окружности). Докажите, что
  а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL;
  б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.

Вверх   Решение

Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 87]      



Задача 103833

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 7

На острове Контрастов живут и рыцари, и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Некоторые жители заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным?

Прислать комментарий     Решение

Задача 103856

Темы:   [ Перебор случаев ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108161

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В треугольнике ABC точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Известно, что  ∠AC'B' = ∠B'A'C,  ∠CB'A' = ∠A'C'B,  ∠BA'C' = ∠C'B'A.  Докажите, что точки A', B', C' – середины сторон треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108606

Темы:   [ Неравенство треугольника ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Четырехугольник (неравенства) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108613

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника:  AEF, BGH, CIJ, DKL  (EF, GH, IJ, KL – дуги окружности). Докажите, что
  а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL;
  б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 87]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .