Все авторы
>>
Сендеров В.А. 
Валерий Анатольевич Сендеров (1945 - 2014 гг.) - математик, педагог, с 70-х годов - постоянный участник проведения московских и российских математических олимпиад. Автор нескольких десятков научных статей в отечественных и зарубежных изданиях, научно-популярных работ в журнале Квант.
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
В наборе имеется 100 гирь, каждые две из которых отличаются по массе не более чем на 20 г. Доказать, что эти гири можно положить на две чашки весов, по 50 штук на каждую, так, чтобы одна чашка весов была легче другой не более чем на 20 г.
а) Докажите, что сумма углов при вершинах выпуклого n-угольника равна
(n - 2) . 180o.
б) Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на
треугольники. Докажите, что количество этих треугольников равно n - 2.
Докажите, что окружность при осевой симметрии переходит в окружность.
Даны два многочлена от переменной x с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной x с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.
В клетках доски n×n произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на n + 1.
Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса
так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех
касается двух сторон треугольника. Найдите
, если радиусы вписанной
и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.
На плоскости расположено n5 окружностей так,
что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что
тогда и все окружности имеют общую точку.
Разрежьте произвольный треугольник на 3 части и сложите из них
прямоугольник.
Дан четырехугольник ABCD. На стороне AB взята точка K, на стороне BC
&8212; точка L, на стороне CD — точка M и на стороне AD — точка N,
так, что KB = BL = a, MD = DN = b. Пусть
KL MN. Найти
геометрическое место точек пересечения прямых KL и MN при изменении
a и b.
Докажите, что если фигура имеет две перпендикулярные
оси симметрии, то она имеет центр симметрии.
На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).
а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну
точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A,
B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b,
c, d соответственно. Докажите, что
(abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек
сохраняется при проективных преобразованиях.
Сумма четырех единичных векторов равна нулю. Докажите, что их
можно разбить на две пары противоположных векторов.
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число,
кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.
Найдите последнее число.
Все задачи автора Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 90]
Задача 98318 |
|
|
Существуют ли три таких различных простых числа p, q, r, что p² + d делится на qr, q² + d делится на rp, r² + d делится на pq, если
а) d = 10,
б) d =11?
|
|
Решение |
Задача 98427 |
|
|
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число,
кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.
Найдите последнее число.
|
|
Решение |
Задача 105065 |
|
|
a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство
|
|
|
Решение |
Задача 105127 |
|
|
Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство a³ + b³ + 3abc > c³.
|
|
|
Решение |
Задача 116546 |
|
|
Найдите все такие тройки простых чисел p, q, r, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 90]
