Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из Москвы вылетел вертолёт, который пролетел 300 км на юг, потом 300 км на запад, 300 км на север и 300 км на восток, после чего приземлился. Оказался ли он южнее Москвы, севернее её или на той же широте? Оказался ли он восточнее Москвы, западнее Москвы или на той же долготе?

   Решение

---

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A₂B₂C₂, равный треугольнику A₁B₁C₁ и такой, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ будут параллельны?

   Решение

---

Какое слагаемое в разложении  (1 + )¹⁰⁰  по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66313  (#9.8)

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что  AP = BQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66321  (#10.8)

Темы:   [ Системы точек ] [ Четность и нечетность ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10

На плоскости дано множество S, состоящее из чётного числа точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что S можно разбить на два множества X и Y так, что выпуклые оболочки  conv X  и  conv Y  имеют поровну вершин.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66212  (#9)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В прямоугольном треугольнике ABC точка C₀ – середина гипотенузы AB, AA₁, BB₁ – биссектрисы, I – центр вписанной окружности.
Докажите, что прямые C₀I и A₁B₁ пересекаются на высоте CH.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66213  (#10)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки K и L соответственно так, что  ∠AKD = ∠CLD.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника BKL равноудален от A и C.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66214  (#11)

Темы:   [ Системы точек ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями