Версия для печати
Убрать все задачи

---

Произвольный прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке ниже. В каждый треугольник вписан квадрат со стороной, лежащей на гипотенузе. Что больше: площадь самого большого квадрата или сумма площадей трёх остальных квадратов?

   Решение

---

На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через a, а до центров всех белых клеток – через b. Докажите, что  a = b.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115885  (#6)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вневписанные окружности ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Найдите геометрическое место центров всех вневписанных окружностей прямоугольных треугольников, имеющих данную гипотенузу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115886  (#7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC. Из вершин B и C опущены перпендикуляры BM и CN на биссектрисы углов C и B соответственно.
Докажите, что прямая MN пересекает стороны AC и AB в точках их касания с вписанной окружностью.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115887  (#8)

Темы:   [ Произвольные многоугольники ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Многоугольник можно разрезать на две равные части тремя различными способами.
Верно ли, что у него обязательно есть центр или ось симметрии?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115888  (#9)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника,  n > 3.  Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
  а) Докажите, что  k < ²ⁿ/₃.
  б) Приведите пример конфигурации, для которой  k > 0,666n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115866  (#10)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Пусть ABC – остроугольный треугольник, CC₁ – его биссектриса, O – центр описанной окружности. Точка пересечения прямой OC₁ с перпендикуляром, опущенным из вершины C на сторону AB, лежит на описанной окружности Ω треугольника AOB. Найдите угол C.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями