Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

   Решение

---

Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N чётно.

   Решение

---

В треугольнике ABC  ∠A = 60°.  Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямую AC в точке N. Серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает прямую AB в точке M. Докажите, что  CB = MN.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61400  (#10.049)  [Сумма минимумов и минимум суммы]

Тема:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10,11

Предположим, что имеется набор функций  f₁(x), ...,  f_n(x), определённых на отрезке  [a, b].  Докажите неравенство:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61401  (#10.050)

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите неравенство:   + ... + ≥ .
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61402  (#10.051)

Тема:   [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Выведите из неравенства задачи 61401

  а) неравенство Коши-Буняковского:  

  б) неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным:   ≤ ;

  в) неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим:   ≤ .
  Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61403  (#10.052)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Производная и экстремумы ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите неравенство:  
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61404  (#10.053)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
  а)   ≤   неравенство Коши);
  б)  

  в)     где  b₁ + ... + b_n = 1.
  Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями