Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 [Всего задач: 69]

Задача 56811 (#04.059)

Тема:

[

Перегруппировка площадей

]

Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

Решение

Отрежем от правильного восьмиугольника треугольники и переставим их так, как показано на рис. В результате получим прямоугольник, стороны которого равны наибольшей и наименьшей диагоналям восьмиугольника. Тогда B₁C₁ = 2 sin(A/2), а значит, 2 sin(A/2)R_a $\geq$ d_c + d_b. Умножая это неравенство на аналогичные неравенства для R_b и R_c и учитывая, что sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) = r/4R (задача 12.36, а)), получаем требуемое.

Прислать комментарий

Задача 56812 (#04.060)

Тема:

[

Перегруппировка площадей

]

Сложность: 4
Классы: 9

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. Проведенные отрезки являются высотами треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C. Пусть P, Q и R — точки пересечения высот этих треугольников, а O — точка пересечения высот треугольника A₁B₁C₁ (рис.). Рассматриваемый шестиугольник состоит из треугольника A₁B₁C₁ и треугольников B₁C₁P, C₁A₁Q и A₁B₁R. Ясно, что $\triangle$ B₁C₁P = $\triangle$ C₁B₁O, $\triangle$ C₁A₁Q = $\triangle$ A₁C₁O и $\triangle$ A₁B₁R = $\triangle$ B₁A₁O. Поэтому площадь рассматриваемого шестиугольника равна удвоенной площади треугольника A₁B₁C₁. Остается заметить, что S_ABC = 4S_A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Задача 56813 (#04.061)

Тема:

[

Перегруппировка площадей

]

Сложность: 5
Классы: 9

Стороны AB и CD параллелограмма ABCD площади 1 разбиты на n равных частей, AD и BC — на m равных частей.
а) Точки деления соединены так, как показано на рис., а.
б) Точки деления соединены так, как показано на рис., б.
Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?

Решение

а) Отрежем от параллелограмма две части (рис., а) и переставим их так, как показано на рис., б. Получится фигура, состоящая из mn + 1 маленьких параллелограммов. Поэтому площадь маленького параллелограмма равна 1/(mn + 1).

б) Отрежем от параллелограмма три части (рис., а) и переставим их так, как показано на рис., б. Получится фигура, состоящая из mn - 1 маленьких параллелограммов. Поэтому площадь маленького параллелограмма равна 1/(mn - 1).

Прислать комментарий

Задача 56814 (#04.062)

Тема:

[

Перегруппировка площадей

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (рис.). Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.
б) Докажите, что площадь двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

Решение

а) Разрежем исходный квадрат на четыре квадрата и рассмотрим один из них (рис.). Пусть точка B' симметрична точке B относительно прямой PQ. Докажем, что $\triangle$ APB = $\triangle$ OB'P. Треугольник APB равнобедренный, причем угол при его основании равен 15^o, поэтому треугольник BPQ равносторонний. Следовательно, $\angle$ OPB' = $\angle$ OPQ - $\angle$ B'PQ = 75^o - 60^o = 15^o и $\angle$ POB' = $\angle$ POQ/2 = 15^o. Кроме того, AB = OP. Аналогично доказывается, что $\triangle$ BQC = $\triangle$ OB'Q. Следовательно, площадь заштрихованной на рис. части равна площади треугольника OPQ.
б) Пусть площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 12x. Согласно задаче а) площадь квадрата, описанного около этой окружности, равна 12x + 4x = 16x; с другой стороны, площадь этого квадрата равна 4, поэтому x = 1/4 и 12x = 3.

Прислать комментарий

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 [Всего задач: 69]