Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S₁ проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S₂ в точках B и C, а через точку D окружности S₂ – прямые DM и DN, пересекающие S₁ в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если  AB = DE,  то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109871  (#95.4.9.1)

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что для любых положительных чисел x и y справедливо неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109872  (#95.4.9.2)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108189  (#95.4.9.3)

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Две окружности радиусов R и r касаются прямой l в точках A и B и пересекаются в точках C и D . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC не зависит от длины отрезка AB .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109874  (#95.4.9.4)

Темы:   [ Раскраски ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок – одним цветом).
Существует ли такая раскраска, что для любых трёх цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109875  (#95.4.9.5)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Найдите все такие простые числа p, что число  p² + 11  имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями