Дан произвольный треугольник ABC. Постройте прямую, проходящую через вершину B и делящую его на два треугольника, радиусы вписанных окружностей которых равны.

   Решение

Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

Докажите, что количество положительных корней многочлена  f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  не превосходит числа перемен знака в последовательности  a_n, ..., a₁, a₀.

Прислать комментарий

Решение

Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена  f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что многочлен  a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²)  делится на  (b – c)(c – a)(a – b).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что из равенства  P(x) = Q(x)T(x) + R(x)  следует соотношение  (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).

Прислать комментарий

Решение

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором  s ≥ 1  существуют такие многочлены  A₀(x), A₁(x), ..., A_s(x)  и  R₁(x), ..., R_s(x),  что  degQ(x) > degR₁(x) > degR₂(x) > ... > degR_s(x) ≥ 0,
    P(x) = Q(x)A₀(x) + R₁(x),
    Q(x) = R₁(x)A₁(x) + R₂(x),
    R₁(x) = R₂(x)A₂(x) + R₃(x),
      ...
    R_s–2(x) = R_s–1(x)A_s–1(x) + R_s(x),
    R_s–1(x) = R_s(x)A_s(x)
и  (P(x), Q(x)) = R_s(x).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]