Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача
108204
(#94.5.10.3)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Пусть a , b и c – стороны треугольника, ma , mb
и mc – медианы, проведённые к этим сторонам, D –
диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите,
что
+ 
+
6D.
Задача
109560
(#94.5.10.4)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
В правильном (6n+1)-угольнике K вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
Задача
109561
(#94.5.10.5)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
|
Докажите, что для натуральных чисел k, m и n справедливо неравенство [k, m][m, n][n, k] ≥ [k, m, n]².
Задача
109562
(#94.5.10.6)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Функции f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар (x, y), для которых
f(x) = g(y), через n – число пар, для которых f(x) = f(y), а через k – число пар, для которых g(x) = g(y). Докажите, что 2m ≤ n + k.
Задача
108205
(#94.5.10.7)
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Каждая из окружностей S1 , S2 и S3
касается внешним образом окружности S (в точках
A1 , B1 и C1 соответственно) и двух
сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что
прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются
в одной точке.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
