Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Всероссийская олимпиада по математике
>>
2001-2002
>>
Региональный этап
>>
11 Класс
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Высота четырехугольной пирамиды SABCD проходит через точку пересечения диагоналей
ее основания ABCD . Из вершин основания опущены перпендикуляры AA1 , BB1 ,
CC1 , DD1 на прямые SC , SD , SA и SB соответственно.
Оказалось, что точки S , A1 , B1 , C1 , D1 различны и лежат на
одной сфере. Докажите, что прямые AA1 , BB1 , CC1 , DD1 проходят
через одну точку.
Каждая клетка клетчатой плоскости раскрашена в один из n² цветов так, что в каждом квадрате из n× клеток встречаются все цвета.
Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в n цветов.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 110085 (#02.4.11.1) |
|
|
Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечётных p и q число xp + yq рационально.
Докажите, что x и y – рациональные числа.
|
|
Решение |
Задача 110086 (#02.4.11.2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110087 (#02.4.11.3) |
|
|
Набор чисел a0, a1, ..., an удовлетворяет условиям: a0 = 0,
ak+1 ≥ ak + 1 при k = 0, 1, ..., n – 1. Докажите неравенство
|
|
|
Решение |
Задача 110088 (#02.4.11.4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110089 (#02.4.11.5) |
|
|
Пусть P(x) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение P(P(x)) = 0 имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение P(x) = 0.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
