Версия для печати
Убрать все задачи

---

У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него в итоге не оказалось
100 кучек по одному камешку. Докажите, что
  а) в какой-то момент в каких-то 30 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
  б) в какой-то момент в каких-то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
  в) Костя мог действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков.

   Решение

---

Можно ли расположить на плоскости 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок своими концами упирался строго внутрь других отрезков.

   Решение

---

Дано число  A = ,  где M – натуральное число большее 2.
Доказать, что найдётся такое натуральное k, что  A = .

   Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 559]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30678  (#092)

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Докажите, что число  30²³⁹ + 239³⁰  составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30679  (#093)

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Пусть p – простое число. Докажите, что  (a + b)^p ≡ a^p + b^p (mod p)  для любых целых a и b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30680  (#094)

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Сумма трёх чисел a, b и c делится на 30. Докажите, что  a⁵ + b⁵ + c⁵  также делится на 30.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30681  (#095)

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
  а)  p^q + q^p ≡ p + q (mod pq);

  б)   – чётное число, если  p, q ≠ 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30682  (#096)

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Пусть p – простое число, и a не делится на p. Докажите, что найдется натуральное число b, для которого  ab ≡ 1 (mod p).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 559]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями