Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сто положительных чисел C₁, C₂, ..., C₁₀₀ удовлетворяют условиям  
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

   Решение

---

По периметру круглого торта диаметром n/p метров расположены n вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на n равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64755  (#1)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+

В трапеции ABCD  BC < AD,  AB = CD,  K – середина AD, M – середина CD, CH – высота.
Докажите, что прямые AM, CK и BH пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64756  (#2)

Темы:   [ Правильная призма ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Движение помогает решить задачу ]

Сложность: 4-

Можно ли правильную треугольную призму разрезать на две равные пирамиды?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64757  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4-

Биссектрисы AA₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Описанные окружности треугольников AIC₁ и CIA₁ повторно пересекают дуги AC и BC (не содержащие точек B и A соответственно) описанной окружности треугольника ABC в точках C₂ и A₂ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂ и C₁C₂ пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64758  (#4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Радикальная ось ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4

Медианы AA₀, BB₀ и CC₀ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, а высоты AA₁, BB₁ и CC₁ – в точке H. Касательная к описанной окружности треугольника A₁B₁C₁ в точке C₁ пересекает прямую A₀B₀ в точке C'. Точки A' и B' определяются аналогично. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой MH.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64759  (#5)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4

Дан правильный треугольник ABC, площадь которого равна 1, и точка P на его описанной окружности. Прямые AP, BP, CP пересекают соответственно прямые BC, CA, AB в точках A', B', C'. Найдите площадь треугольника A'B'C'.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями