Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Даны точки A и B. С центром в точке B проводятся окружности радиусом, не превосходящим AB, а через точку A — касательные к ним. Найдите геометрическое место точек касания.

Вниз   Решение


В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше 3/20;
  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше 1/20.

ВверхВниз   Решение


Город представляет из себя клетчатый прямоугольник, в каждой клетке стоит пятиэтажный дом. Закон о реновации позволяет выбрать две соседних по стороне клетки, в которых стоят дома, и снести тот дом, где меньше этажей (либо столько же). При этом над вторым домом надстраивается столько этажей, сколько было в снесённом доме. Какое наименьшее число домов можно оставить в городе, пользуясь законом о реновации, если город имеет размеры
  а) 20×20 клеток;
  б) 50×90 клеток?

ВверхВниз   Решение


Выполните построения с помощью линейки с двумя параллельными краями (двусторонней линейки) без циркуля.
а) Постройте биссектрису данного угла AOB.
б) Дан острый угол AOB. Постройте угол BOC, биссектрисой которого является луч OA.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



Задача 58390

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Пусть a, b и c — комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число $ {\frac{1}{2}}$(a + b + c - $ \bar{a}$bc) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины a на сторону bc.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58391

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Докажите, что прямая, проходящая через точки a1 и a2, задаётся уравнением

z($\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$) - $\displaystyle \bar{z}$(a1 - a2) + (a1$\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$a2) = 0.


Прислать комментарий     Решение

Задача 58392

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

Az$\displaystyle \bar{z}$ + cz + $\displaystyle \bar{c}$$\displaystyle \bar{z}$ + D = 0,

где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58393

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

а) Пусть $ \varepsilon$ = $ {\frac{1}{2}}$ + $ {\frac{i\sqrt{3}}{2}}$. Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + $ \varepsilon^{2}_{}$b + $ \varepsilon^{4}_{}$c = 0 или a + $ \varepsilon^{4}_{}$b + $ \varepsilon^{2}_{}$c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58394

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Пусть точки A*, B*, C*, D* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) $ {\frac{AC}{AD}}$ : $ {\frac{BC}{BD}}$ = $ {\frac{A^*C^*}{A^*D^*}}$ : $ {\frac{B^*C^*}{B^*D^*}}$;
б) $ \angle$(DA, AC) - $ \angle$(DB, BC) = $ \angle$(D*B*, B*C*) - $ \angle$(D*A*, A*C*).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .