ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 10. Неравенства для элементов треугольника
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Карлюченко А.

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что  MI = r/3  тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

Задача 57439  (#10.029)

Тема:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что  27Rr $ \leq$ 2p2 $ \leq$ 27R2/2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57440  (#10.030)

Тема:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, причем  OA $ \geq$ OB $ \geq$ OC. Докажите, что OA $ \geq$ 2r и  OB $ \geq$ r$ \sqrt{2}$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57441  (#10.031)

Тема:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6r.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57442  (#10.032)

Тема:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что 3$ \left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$$ {\frac{a}{r_a}}$ + $ {\frac{b}{r_b}}$ + $ {\frac{c}{r_c}}$$ \left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$ $ \geq$ 4$ \left(\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right.$$ {\frac{r_a}{a}}$ + $ {\frac{r_b}{b}}$ + $ {\frac{r_c}{c}}$$ \left.\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right)$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57443  (#10.033)

Тема:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

Докажите, что
а)  5R - r $ \geq$ $ \sqrt{3}$p;
б)  4R - ra $ \geq$ (p - a)[$ \sqrt{3}$ + (a2 + (b - c)2)/(2S)].
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .