Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каким точкам фазовой плоскости соответствуют квадратные трёхчлены, не имеющие корней?

   Решение

---

Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65468  (#1)

Темы:   [ Геометрическая прогрессия ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Геометрическая прогрессия состоит из 37 натуральных чисел. Первый и последний члены прогрессии взаимно просты.
Докажите, что 19-й член прогрессии является 18-й степенью натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65469  (#2)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Теорема Пика ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65470  (#3)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Все коэффициенты некоторого непостоянного многочлена целые и по модулю не превосходят 2015.
Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем ¹/₂₀₁₆.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65471  (#4)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан вписанный четырёхугольник АВСD. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P и Q. Пусть К и N – середины диагоналей.
Докажите, что сумма углов PKQ и PNQ равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65466  (#5)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Петя увидел на доске несколько различных чисел и решил составить выражение, среди значений которого все эти числа есть, а других нет. Составляя выражение, Петя может использовать какие угодно числа, особый знак "±", а также обычные знаки "+", "–", "×" и скобки. Значения составленного выражения он вычисляет, выбирая для каждого знака "±" либо "+", либо "–" во всех возможных комбинациях. Например, если на доске были числа 4 и 6, подойдёт выражение  5 ± 1,  а если на доске были числа 1, 2 и 3, то подойдёт выражение  (2 ± 0,5) ± 0,5.  Возможно ли составить необходимое выражение, если на доске были написаны
  а) числа 1, 2, 4;
  б) любые 100 различных действительных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями