Версия для печати
Убрать все задачи

---

Последовательность чисел a₁, a₂,..., a_n... образуется следующим образом:

Доказать, что все числа в последовательности — целые.

   Решение

---

На доске выписаны числа 1, 2, ..., 100. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестёртых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число 1. Какие числа будут стёрты на последнем этапе?

   Решение

---

На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD отмечены точки P и Q так, что прямая PQ параллельна AD, а отрезок PQ делится диагоналями трапеции на три равные части. Найдите длину оонования BC, если известно, что  AD = a,  PQ = m,  а точка пересечения диагоналей трапеции лежит внутри четырёхугольника BPCQ.

   Решение

---

Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).
Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 141]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60959  (#06.036)

Темы:   [ Методы решения задач с параметром ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству  (2 – a)x³ + (1 – 2a)x² – 6x + 5 + 4a – a² < 0  хотя бы при одном значении a из отрезка  [–1, 2].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60960  (#06.037)  [Деление многочленов с остатком]

Тема:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно. Докажите, что существуют такие многочлены T(x) и R(x), что
P(x) = Q(x)T(x) + R(x)  и  deg R(x) < degQ(x);  при этом T(x) и R(x) определяются однозначно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60961  (#06.038)  [Теорема Безу]

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что остаток от деления многочлена P(x) на  x – c  равен P(c).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60962  (#06.039)

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Докажите, что многочлен степени n имеет не более чем n корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60963  (#06.040)

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Производная и касательная ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 141]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями