Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 47]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64476  (#21)

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Стереографическая проекция ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Дана окружность ω и точка A вне её. Через A проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках B и C, а другая – в точках D и E (D лежит между A и E). Прямая, проходящая через D и параллельная BC, вторично пересекает ω в точке F, а прямая AF – в точке T. Пусть M – точка пересечения прямых ET и BC, а N – точка, симметричная A относительно M. Докажите, что описанная окружность треугольника DEN проходит через середину отрезка BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64477  (#22)

Темы:   [ Пространственные многоугольники ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64478  (#23)

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Симметрия относительно плоскости ] [ Поворот и винтовое движение ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет
  а) 2012,
  б) 2013 плоскостей симметрии?
  в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64385  (#8.1)

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В пятиугольнике ABCDE углы ABC и AED – прямые,  AB = AE  и  BC = CD = DE.  Диагонали BD и CE пересекаются в точке F.
Докажите, что  FA = AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64386  (#8.2)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Прямые, лучи, отрезки и углы (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Две окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Биссектриса угла O₁AO₂ повторно пересекает окружности в точках C и D.
Докажите, что центр O описанной окружности треугольника CBD равноудалён от точек O₁ и O₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 47]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями