Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 47]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64397  (#9.5)

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что  BK : CK = FS : ES.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64398  (#9.6)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ω_a с центром I_a касается стороны BC в точке A₁ и прямых l и AC. Окружность ω_c с центром I_c касается стороны BA в точке C₁ и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A₁BC₁ лежит на прямой I_aI_c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64399  (#9.7)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω₁ и ω₂. Окружность ω с центром O пересекает ω₁ в точках A и B, а ω₂ – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64400  (#9.8)

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64401  (#10.1)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+

Окружность k проходит через вершины B и C треугольника ABC  (AB > AC)  и пересекает продолжения сторон AB и AC за точки B и C в точках P и Q соответственно. Пусть AA₁ – высота треугольника ABC. Известно, что  A₁P = A₁Q.  Докажите, что угол PA₁Q в два раза больше угла A треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 47]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями