Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 47]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64471  (#16)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Преобразования плоскости (прочее) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон BC, CA, AB в точках A', B', C' соответственно. Перпендикуляр, опущенный из центра I этой окружности на медиану CM, пересекает прямую A'B' в точке K. Докажите, что  CK || AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64472  (#17)

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема Птолемея ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен φ. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон (идущими в том же порядке) меньше φ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64473  (#18)

Темы:   [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Преобразования плоскости (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Точки M и N являются проекциями вершин B и C на AD. Окружность с диаметром MN пересекает BC в точках X и Y. Докажите, что  ∠BAX = ∠CAY.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64474  (#19)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках B₀ и C₀ соответственно. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC₀ и QB₀ пересекаются на прямой BC.

б) В треугольнике ABC провели биссектрису AL. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABL и ACL соответственно. Точки B₁ и C₁ – проекции вершин C и B на биссектрисы углов B и C соответственно. Докажите, что прямые O₁C₁ и O₂B₁ пересекаются на прямой BC.

в) Докажите, что точки, полученные в пп. а) и б), совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64475  (#20)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка C₁. Точки A₁, B₁ на лучах BC и AC таковы, что  ∠AC₁B₁ = ∠BC₁A₁ = ∠ACB.  Прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в точке C₂. Докажите, что все прямые C₁C₂ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 47]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями