Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 47]

Задача 64466 (#11)

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

а) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ ≤ r₄ – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB. Может ли оказаться, что r₄ > 2r₃?

б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Пусть r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ ≤ r₄ – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABE, BCE, CDE, DAE. Может ли оказаться, что r₂ > 2r₁?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64467 (#12)

Темы:	[	Построения одной линейкой	]
	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис.

а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы.

б) Решите пункт а), проведя только три прямых.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64468 (#13)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Ивлев Ф.

Пусть A₁ и C₁ – точки касания вписанной окружности со сторонами BC и AB соответственно, а A' и C' – точки касания вневписанной окружности треугольника, вписанной в угол B, с продолжениями сторон BC и AB соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника ABC лежит на A₁C₁ тогда и только тогда, когда прямые A'C₁ и BA перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64469 (#14)

Темы:	[	Проекции оснований, сторон или вершин трапеции	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Точки M, N – середины диагоналей AC, BD прямоугольной трапеции ABCD (∠A = ∠D = 90°). Описанные окружности треугольников ABN, CDM пересекают прямую BC в точках Q, R. Докажите, что точки Q, R равноудалены от середины отрезка MN.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64470 (#15)

Темы:	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Точки Брокара	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кожевников П.А., Расторгуев В.

а) В треугольник ABC вписаны треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ так, что C₁A₁ ⊥ BC, A₁B₁ ⊥ CA, B₁C₁ ⊥ AB, B₂A₂ ⊥ BC, C₂B₂ ⊥ CA,
A₂C₂ ⊥ AB. Докажите, что эти треугольники равны.

б) Внутри треугольника ABC взяли точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ так, что A₁ - на отрезке AB₁, B₁ - на отрезке BC₁, C₁ – на отрезке CA₁, A₂ – на отрезке AC₂, B₂ – на отрезке BA₂, C₂ – на отрезке CB₂ и углы BAA₁, CBB₁, ACC₁, CAA₂, ABB₂, BCC₂ равны. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 47]