Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 47]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64392  (#8.8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть P – произвольная точка на дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки B. Биссектриса угла APB пересекает биссектрису угла BAC в точке P_a; биссектриса угла CPB пересекает биссектрису угла BCA в точке P_c. Докажите, что для всех точек P центры описанных окружностей треугольников PP_aP_c лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64393  (#9.1)

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пятиугольник ABCDE, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E₁; продолжения сторон BC и DE – в точке A₁. Касательная, проведённая в точке B к описанной окружности треугольника BE₁C, пересекает ω в точке B₁; аналогично определяется точка D₁. Докажите, что  B₁D₁ || AE.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64394  (#9.2)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Две окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Точки C и D, лежащие соответственно на ω₁ и ω₂ по разные стороны от прямой AB, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки C и D равноудалены от середины отрезка O₁O₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64395  (#9.3)

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника ABCD не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке O.
Докажите, что S_AOB + S_COD ≤ 2(S_AOD + S_BOC).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64396  (#9.4)

Темы:   [ Точка Торричелли ] [ Шестиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Подерный (педальный) треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC и такая точка F, что  ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA.  Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A₁. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 47]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями