Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 47]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64402  (#10.2)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Теорема косинусов ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+

В описанном четырёхугольнике ABCD  AB = CD ≠ BC.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64403  (#10.3)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Выход в пространство ] [ Окружность Аполлония ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4+

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что  XA·BC = XB·AC = XC·AB;  I₁, I₂, I₃ – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI₁, BI₂ и CI₃ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64404  (#10.4)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]

Сложность: 5

Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа.
Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64405  (#10.5)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 3+

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Точки E и F – середины не содержащих других вершин дуг AB и CD соответственно. Прямые, проходящие через точки E и F параллельно диагоналям четырёхугольника ABCD, пересекаются в точках K и L. Докажите, что прямая KL содержит точку O.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64406  (#10.6)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Средняя линия трапеции ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H. Из точки H провели перпендикуляры к прямым B₁C₁ и A₁C₁, которые пересекли лучи CA и CB в точках P и Q соответственно. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую A₁B₁, проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 47]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями