ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Класс:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)2 попыток? Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD
и DA выпуклого четырехугольника ABCD.
Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями. Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2. Окружность ω с центром O пересекает ω1 в точках A и B, а ω2 – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой. Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися
диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при
котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники
ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований,
за которое любое разбиение можно перевести в любое другое.
Докажите, что: а)
P(n) В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур? В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся
описанной окружности. Пусть A1, B1 и C1 — точки
касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что
прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Докажите, что эллиптическое зеркало обладает тем
свойством, что пучок лучей света, исходящий из одного фокуса,
сходится в другом.
Даны точка A и окружность S. Проведите через
точку A прямую так, чтобы хорда, высекаемая окружностью S
на этой прямой, имела данную длину d.
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
Двое одновременно отправились из A в B. Первый поехал на велосипеде, второй – на автомобиле со скоростью, в пять раз большей скорости первого. На полпути с автомобилем произошла авария, и оставшуюся часть пути автомобилист прошел пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше прибыл в B?
Андрей ведёт машину со скоростью 60 км/ч. Он хочет проезжать каждый километр на 1 минуту быстрее. На сколько ему следует увеличить скорость?
Турист шел 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км.
В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причём воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как он это понял?
Конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке