Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены пятью хордами. Обязательно ли среди них найдутся две хорды одинаковой длины?

б) 20 точек, делящие окружность на 20 равных дуг, попарно соединены 10 хордами. Докажите, что среди них обязательно найдутся две хорды одинаковой длины?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65160  (#1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

а) Натуральные числа x, x² и x³ начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра – единица?
б) Тот же вопрос для натуральных чисел x, x², x³, ..., x²⁰¹⁵.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65203  (#2)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взяли произвольную точку X, а на боковых сторонах – точки P и Q так, что XPBQ – параллелограмм. Докажите, что точка Y, симметричная точке X относительно PQ, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65166  (#3)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

а) В таблицу 2×n (где  n > 2)  вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Докажите, что можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны.
б) В таблицу 100×100 вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Всегда ли можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65163  (#4)

Темы:   [ Многоугольники (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Внутри окружности расположен равносторонний N-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65196  (#5)

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями