Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.

Вниз   Решение


Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   xn+1 = xn = .  Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

ВверхВниз   Решение


В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

ВверхВниз   Решение


Пусть многочлен  P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0  имеет корни  x1, x2, ..., xn,  причем  |x1| > |x2| > ... > |xn|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P0(x), P1(x), P2(x), ...,  что  P0(x) = P(x)  и многочлен Pk(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  
Числа Pkl(n) определены в задаче 61525.

ВверхВниз   Решение


Внутри отрезка АС выбрана произвольная точка В и построены окружности с диаметрами АВ и ВС. На окружностях (в одной полуплоскости относительно АС) выбраны соответственно точки M и L так, что  ∠MBA = ∠LBC.  Точки K и F отмечены соответственно на лучах ВМ и BL так, что
BK = BC  и  BF = AB. Докажите, что точки M, K, F и L лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для любых комплексных чисел z, w справедливо равенство  ezew = ez+w.

ВверхВниз   Решение


Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка P такая, что

ÐPBA + ÐPCA = ÐPBC + ÐPCB.

Докажите, что APAI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда P совпадает с I.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD и биссектриса CF; DK и DL – биссектрисы треугольников BDC и ADC.
Докажите, что CLFK – квадрат.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырёхугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O, равны между собой углы BAC и CBD, а также углы BCA и CDB. Докажите, что касательные, проведённые из точек B и C к описанной окружности треугольника AOD, равны.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 [Всего задач: 39]      



Задача 65508

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

В каждой клетке таблицы размером 13×13 записано одно из натуральных чисел от 1 до 25. Клетку назовём хорошей, если среди двадцати пяти чисел, записанных в ней и во всех клетках одной с ней горизонтали и одной с ней вертикали, нет одинаковых. Могут ли все клетки одной из главных диагоналей оказаться хорошими?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65513

Тема:   [ Задачи на движение ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Из Златоуста в Миасс выехали одновременно "ГАЗ", "МАЗ" и "КамАЗ". "КамАЗ", доехав до Миасса, сразу повернул назад и встретил "МАЗ" в 18 км, а "ГАЗ" – в 25 км от Миасса. "МАЗ", доехав до Миасса, также сразу повернул назад и встретил "ГАЗ" в 8 км от Миасса. Каково расстояние от Златоуста до Миасса?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65515

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Четность и нечетность ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В ожидании покупателей продавец арбузов поочерёдно взвесил 20 арбузов (массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, ..., 20 кг), уравновешивая арбуз на одной чашке весов одной или двумя гирями на другой чашке (возможно, одинаковыми). При этом продавец записывал на бумажке, гири какой массы он использовал. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться в его записях, если масса каждой гири – целое число килограммов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65527

Тема:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Каждая клетка таблицы размером 7×8 (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трёх цветов: красный, жёлтый или зелёный. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем жёлтых, и не меньше, чем зелёных, а в каждом столбце жёлтых клеток не меньше, чем красных, и не меньше, чем зелёных. Сколько зелёных клеток может быть в такой таблице?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 [Всего задач: 39]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .