Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66271  (#10.4)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Многоугольники (прочее) ] [ Индукция в геометрии ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму s и называет 97 троек  {i, j, k},  где i, j, k – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник A₁A₂...A₁₀₀ с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников A_iA_jA_k. При каком наибольшем s Человеку выгодно согласиться?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65793  (#5)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В четырёхугольнике ABCD  AB = CD,  M и K – середины BC и AD. Докажите, что угол между MK и AC равен полусумме углов BAC и DCA.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66256  (#8.5)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Необычные построения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На прозрачном листе бумаги отмечены три точки.
Докажите, что лист можно согнуть по некоторой прямой так, чтобы эти точки оказались в вершинах равностороннего треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66264  (#9.5)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Прямая Симсона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Центр окружности ω₂ лежит на окружности ω₁. Из точки X окружности ω₁ проведены касательные XP и XQ к окружности ω₂ (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω₁ в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66272  (#10.5)

Темы:   [ Прямая призма ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Существует ли выпуклый многогранник, у которого рёбер столько же, сколько диагоналей? (Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями