По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили "Ауди" и БМВ. Оказалось, что как в 17.00, так и в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрёстка, чем "Ауди". В какое время "Ауди" мог проехать перекрёсток?

   Решение

Пусть высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Окружность, описанная около треугольника $AHC$, пересекает отрезки $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ пересекает $AC$ в $R$. На прямой $PH$ взята точка $K$ такая, что $\angle KAC = 90^{\circ}$. Докажите, что прямая $KR$ перпендикулярна одной из медиан треугольника $ABC$.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $1$. Найдите наибольшее возможное значение величины $\frac1{AC^2}+\frac1{BD^2}$.

Прислать комментарий

Решение

Даны два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$. Прямые $AB$ и $A'B'$ пересекаются в точке $C_1$, а параллельные им прямые, проходящие через $C$ и $C'$, соответственно, в точке $C_2$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]