Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65166

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

а) В таблицу 2×n (где  n > 2)  вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Докажите, что можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны.
б) В таблицу 100×100 вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Всегда ли можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны?

Решение

См. решение задачи 65162.

Ответ

б) Не всегда.

Прислать комментарий

---

Задача 65175

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.

Решение

См. решение задачи 65168.

Прислать комментарий

---

Задача 65168

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Император пригласил на праздник 2015 волшебников, добрых и злых, при этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император – нет. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой говорит что угодно. На празднике император сначала выдаёт каждому волшебнику по бумажке с вопросом (требующим ответа "да" или "нет"), затем волшебники отвечают, и после всех ответов император одного изгоняет. Волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. После этого император вновь выдаёт каждому из оставшихся волшебников по бумажке с вопросом, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (это возможно после любого из ответов, и после остановки можно никого не изгонять). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.

Решение

  Первый этап. Император выделяет одного волшебника A и спрашивает всех оставшихся, добрый ли он (а его – о чём угодно). Имеем два случая.
  1) Все сказали "нет". Тогда император изгоняет A. Если оказалось, что A – добрый, то все остальные волшебники – злые, и император изгоняет их по очереди, задавая произвольные вопросы. Если оказалось, что A – злой, то число злых волшебников уменьшилось, и император снова повторяет первый этап.
  2) Нашёлся волшебник B, сказавший "да". Тогда император изгоняет B. Если оказалось, что B – злой, то император также возвращается к первому этапу. Если оказалось, что B – добрый, то император понимает, что A – добрый и переходит ко второму этапу.
  Второй этап. Император ставит волшебников по кругу и спрашивает каждого, добрый ли следующий. Если все ответили "да", то все оставшиеся в зале волшебники – добрые, и император останавливается.
  Если кто-то ответил "нет", то первый, начиная со следующего за A волшебника, про которого так сказали, – злой. Император его изгоняет и возвращается ко второму этапу.

Прислать комментарий

---

Задача 65196

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?

Решение

  Рассмотрим многочлен 18-й степени  h(x) = (x + 1)⁴(x² + x + 1)(x⁴ + ... + 1)(x⁸ + ... + 1)  и многочлен  g(x) = h(x)(x¹⁸ + ... + 1).  Легко видеть, что коэффициент при x¹⁸ многочлена g(x) равен сумме коэффициентов многочлена h(x), то есть  h(1) = 2⁴∙3∙5∙9 = 2160 > 2015.
  Произведение  g(x)g(– x) = (1 – x⁶)(1 – x¹⁰)(1 – x¹⁸)(1 – x³⁸)  по тем же соображениям, что и в решении 1, будет иметь коэффициенты, по модулю не превышающие единицы.

Ответ

Существуют.

Прислать комментарий

---

Задача 65206

Темы:   [ Вписанные многогранники ] [ Описанные многогранники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Все грани шестигранника – четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник – куб?

Решение

  Первый способ. Отличный от куба шестигранник, в каждой вершине которого сходятся по три ребра (назовём его кубоидом), можно получить из правильного тетраэдра следующим образом. Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с центром O и правильный тетраэдр ACB₁D₁ (см. рис.).

  Две плоскости, параллельные ABCD и касающиеся вписанной сферы тетраэдра ACB₁D₁, отсекают от этого тетраэдра две части. Оставшаяся часть тетраэдра представляет собой пример кубоида, удовлетворяющего условию задачи. Его вершины – это вершины двух прямоугольников (два сечения тетраэдра плоскостями), в силу симметрии все они равноудалены от центра куба O, который также является центром вписанной сферы для тетраэдра (а значит, и для построенного кубоида).

  Второй способ. Возьмём в некоторой плоскости прямоугольник с центром O и сторонами a и b  (b ≥ a),  повернём его относительно точки O на 90° и поднимем на высоту h над этой плоскостью (рис. слева). Получим новый прямоугольник с центром O'.

  Восемь вершин двух прямоугольников (исходного и полученного) являются вершинами некоторого кубоида. Все эти вершины лежат на сфере с центром в середине отрезка OO'. Выберем h так, чтобы сфера с центром в середине отрезка OO' и радиуса ^h/₂ касалась боковых граней кубоида. Для этого рассмотрим его сечение плоскостью, проходящей через прямую OO' параллельно какой-нибудь паре сторон прямоугольника. Оно представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями a и b, в которую вписана окружность диаметра h (рис. справа). Боковые стороны этой трапеции равны ^a+b/₂, поэтому   .

Ответ

Неверно.

Прислать комментарий

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями