Каталог по источникам

Выбрано 13 задач

Докажите, что при простых p_i ≥ 5, i = 1, 2, ..., 24, число делится нацело на 24.

Решить в целых числах уравнение = m.

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон.
Доказать, что отношение каждой диагонали к соответствующей стороне равно

Решение

Найти все натуральные числа n, для которых число n·2ⁿ + 1 кратно 3.

Решение

Петя приобрёл в магазине вычислительный автомат, который за 5 к. умножает любое введённое в него число на 3, а за 2 к. прибавляет к любому числу 4. Петя хочет, начиная с единицы, которую можно ввести бесплатно, набрать на автомате число 1981 и затратить наименьшую сумму денег. Во сколько обойдутся ему вычисления? А что будет, если он захочет набрать число 1982?

Решение

В квадрате ABCD находятся 5 точек. Доказать, что расстояние между какими-то двумя из них не превосходит ${\frac{1}{2}}$ AC.

Решение

Известно, что при любом целом K ≠ 27 число a – K¹⁹⁶⁴ делится без остатка на 27 – K. Найти a.

Решение

На какое наименьшее число непересекающихся тетраэдров можно разбить куб?

Решение

Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами.
Докажите, что произведение этих чисел не может оканчиваться на 1988.

Решение

Числа 1, 2, 3, ..., 1982 возводятся в квадрат и записываются подряд в некотором порядке.
Может ли полученное многозначное число быть полным квадратом?

Решение

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

Решение

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что X + Y = 10²⁰⁰. Доказать, что X делится на 50.

Решение

Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.

Решение

Задача 78154