Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC; R — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что точки пересечения прямых MA₁ и BC, MB₁ и CA, MC₁ и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.

   Решение

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на остроугольные треугольники.

   Решение

Какое минимальное количество спичек необходимо для того, чтобы выложить на плоскости N квадратов со стороной в одну спичку? Спички нельзя ломать и класть друг на друга. Вершинами квадратов должны быть точки, где сходятся концы спичек, а сторонами - сами спички.

Напишите программу MATCHES, которая по количеству квадратов N, которые необходимо составить, находит минимальное необходимое для этого количество спичек.

Единственная строка входного файла MATCHES.DAT содержит одно целое число N (1≤N≤10⁹).

Единственная строка выходного файла MATCHES.SOL должна содержать одно целое число - минимальное количество спичек требуемых для составления заданного количества квадратов.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Из бумаги вырезан многоугольник. Две точки его границы соединяются отрезком, по которому многоугольник складывается. Доказать, что периметр многоугольника, получающегося после складывания, меньше периметра исходного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Для любых чисел a₁ и a₂, удовлетворяющих условиям  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a₁ + a₂ = 1,  можно найти такие числа b₁ и b₂, что  b₁ ≥ 0,  b₂ ≥ 0,  b₁ + b₂ = 1,
(⁵/₄ – a₁)b₁ + 3(⁵/₄ – a₂)b₂ > 1.  Доказать.

Прислать комментарий

Решение

Внутри угла AOB взята точка C, опущены перпендикуляры CD на сторону OA и CE на сторону OB. Затем опущены перпендикуляры EM на сторону OA и DN на сторону OB. Доказать, что  OC ⊥ MN.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что если целое  n > 1,  то  1¹·2²·3³·...·nⁿ < n^n(n+1)/2.

Прислать комментарий

Решение

Обозначим через a наибольшее число непересекающихся кругов диаметра 1, центры которых лежат внутри многоугольника M, через b — наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно покрыть весь многоугольник M. Какое число больше: a или b?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]