-
осенний тур, 7-8 класс
(7 задач)
осенний тур, 9-10 класс
(7 задач)
весенний тур, 7-8 класс
(7 задач)
весенний тур, 9-10 класс
(7 задач)
Фильтр
Задачи
Задача 97893 |
|
|
Через вершины A и B треугольника ABC проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих фигур – четырёхугольник.
Решение
Если все треугольники равновелики, то чевианы AK и BL делят друг друга пополам. Следовательно, ABKL – параллелограмм. Противоречие.
|
|
Задача 97894 |
|
|
Натуральное число n записано в десятичной системе счисления. Известно, что если какая-то цифра входит в эту запись, то n делится нацело на эту цифру (0 в записи не встречается). Какое максимальное число различных цифр может содержать эта запись?
Решение
Если в запись числа входит цифра 5, то число должно оканчиваться на 5. Тогда оно нечётно и, следовательно, содержит лишь нечётные цифры. Тем самым оно не может содержать более пяти цифр. Если же 5 не входит в десятичную запись числа, то в нём могут встречаться все остальные 8 цифр. Вот пример: 1471963248. Это число делится на 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.
Ответ
8 цифр.
|
|
|
Задача 97880[Игра "кошки-мышки"] |
|
|
Кошка ловит мышку в лабиринтах А, Б, В. Кошка ходит первой, начиная с узла, отмеченного буквой "К". Затем ходит мышка (из узла "М"), затем опять кошка и т. д. Из любого узла кошка и мышка ходят в любой соседний узел. Если в какой-то момент кошка и мышка оказываются в одном узле, кошка ест мышку. Сможет ли кошка поймать мышку в каждом из случаев А, Б, В?
Решение
В случаях А, В мышке достаточно каждый раз ходить в узел, центрально-симметричный узлу, на котором находится кошка.
(Для случая А всё ещё проще. При шахматной раскраске узлов кошка после своего хода всегда находится в узле цвета, противоположного цвету "мышкиного" узла. Поэтому она не может съесть мышку своим ходом. Мышка же ни в каком положении не обязана "бросаться в пасть" к кошке.)
В случае Б также рассмотрим шахматную раскраску узлов (см. рис.). Сначала кошка идет в узел М. Если мышка за это время "пройдёт" по диагональному отрезку, то кошка ловит её следующим ходом.
Ответ
В лабиринтах А и В не сможет, а в Б сможет.
|
|
|
Задача 97886 |
|
|
Дан выпуклый четырёхугольник и точка M внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки M до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.
Решение
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Без ограничения общности можно считать, что M лежит в треугольнике BOC. Пусть прямая CM пересекает сторону AB в точке Q.
MB + MC ≤ BP + PM + MC = BP + PC ≤ BP + PO + OC = OB + OC, что меньше суммы диагоналей;
MA + MD < AQ + QM + MC + CD = AQ + QC + CD < AQ + QB + BC + CD = AB + BC + CD, то есть меньше периметра четырёхугольника.
Сложив, получим доказываемое неравенство.
|
|
|
Задача 97897 |
|
|
20 футбольных команд проводят первенство. В первый день все команды сыграли по одной игре. Во второй также все команды сыграли по одной игре.
Докажите, что после второго дня можно указать такие 10 команд, что никакие две из них не играли друг с другом.
Решение
Рассмотрим граф, вершины которого соответствуют командам, а рёбра соединяют команды, сыгравшие между собой в первых двух турах. Все вершины имеют степень 2. Следовательно, граф разбивается на циклы. Каждый цикл состоит из чётного числа вершин, поскольку рёбра, соответствующие играм первого и второго дня чередуются. Из каждого цикла возьмём половину вершин – через одну. Это и будут 10 не игравших друг с другом команд.
|
|
|
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]
