Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]

Задача 98137

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Сендеров В.А.

Докажите, что произведение всех целых чисел от 2¹⁹¹⁷ + 1 до 2¹⁹⁹¹ – 1 включительно не есть квадрат целого числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108054

Темы:	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, отличная от B, причём AD : DC = AB : BC. Докажите, что угол C тупой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108056

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Площадь четырехугольника	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Фомин Д.

Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна ½ AC² sin∠A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108058

Темы:	[	Метод координат	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Центр масс	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Прасолов В.В.

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон.
Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98110

Темы:	[	Многоугольники (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Толпыго А.К.

Дан выпуклый восьмиугольник ABCDEFGH, у которого все внутренние углы равны между собой, а стороны равны через одну – AB = CD = EF = GH,
BC = DE = FG = HA (будем называть такой восьмиугольник полуправильным). Проводим диагонали AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB и HC. Среди частей, на которые эти диагонали разбивают внутреннюю область восьмиугольника, рассмотрим ту, которая содержит его центр. Если эта часть – восьмиугольник, он снова является полуправильным (это очевидно); в этом случае в нём проводим аналогичные диагонали, и т. д. Если на каком-то шагу центральная фигура не является восьмиугольником, процесс заканчивается. Докажите, что если этот процесс бесконечный, то исходный восьмиугольник – правильный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]