- Региональный этап (31 задача)
- Заключительный этап (23 задачи)
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел a и b ( a>b ) хотя бы одно из чисел a+b или a-b тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.
Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, AD выпуклого четырёхугольника ABCD; отрезки KM и LN пересекаются в точке O.
Докажите, что SAKON + SCLOM = SBKOL + SDNOM.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD: ∠ВАС = 20°, ∠ВСА = 35°, ∠ВDС = 40°, ∠ВDА = 70°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.
На некоторых клетках шахматной доски лежит по конфете. Известно, что в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали (любой длины, даже состоящей из одной клетки) лежит чётное количество конфет (возможно, ни одной). Какое максимальное количество конфет может лежать на доске?
Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?
Найдите все простые числа p, q и r, для которых выполняется равенство: p + q = (p – q)r.
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D, как показано на рисунке.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]
Задача 109963 (#98.4.8.6) |
|
|
У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что все овцы собрались у одного крестьянина.
|
|
Решение |
Задача 108108 (#98.4.8.7) |
|
Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, SA, SB, SC – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к SA, проведёнными из точки A, к SB – из точки B, и к SC – из точки C, равна 180°.
|
|
|
Решение |
Задача 109965 (#98.4.8.8) |
|
|
На выборах в городскую Думу каждый избиратель, если он приходит на выборы, отдает голос за себя (если он является кандидатом) и за тех кандидатов, которые являются его друзьями. Прогноз социологической службы мэрии считается хорошим, если в нем правильно предсказано количество голосов, поданных хотя бы за одного из кандидатов, и нехорошим в противном случае. Докажите, что при любом прогнозе избиратели могут так явиться на выборы, что этот прогноз окажется нехорошим.
|
|
|
Решение |
Задача 109950 (#98.4.9.1) |
|
|
Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите все такие треугольники.
|
|
|
Решение |
Задача 108109 (#98.4.9.2) |
|
|
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D, как показано на рисунке.
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]
