Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]

Задача 109792 (#03.5.9.6)

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Неравенства. Метод интервалов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:

Прислать комментарий

Решение

Задача 109793 (#03.5.9.7)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9

Автор: Берлов С.Л.

Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных m, n > 100 сумма чисел в любом прямоугольнике m×n клеток делилась на m + n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109794 (#03.5.9.8)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Емельянов Л.А.

На сторонах AP и PD остроугольного треугольника APD выбраны соответственно точки B и C. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Q. Точки H₁ и H₂ являются ортоцентрами треугольников APD и BPC соответственно. Докажите, что если прямая H₁H₂ проходит через точку X пересечения описанных окружностей треугольников ABQ и CDQ, то она проходит и через точку Y пересечения описанных окружностей треугольников BQC и AQD.
(X ≠ Q, Y ≠ Q.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 109780 (#03.5.10.1)

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Теория множеств (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

Прислать комментарий Решение

Задача 108126 (#03.5.10.2)

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S₁ и S₂ треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S₁ и S₂ в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём OP : PL = MQ : QO. Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]