Версия для печати
Убрать все задачи
У Васи есть 13 одинаковых на вид гирь, но 12 из них весят одинаково, а одна фальшивая – весит больше остальных. Также у него есть двое чашечных весов – одни правильные, а другие показывают верный результат (какая чаша тяжелее), если массы на чашах различаются, а в случае равенства могут показать что угодно (какие именно весы правильные, Вася не знает). Перед каждым взвешиванием Вася может сам выбирать весы. Докажите, что Вася может гарантированно найти фальшивую гирю за 3 взвешивания.
Решение
Назовём точку на плоскости узлом, если обе её координаты целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что среди узлов внутри треугольника можно выбрать такие два узла, что проходящая через них прямая содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной из сторон треугольника.
Решение
Через точку
M, лежащую внутри параллелограмма
ABCD,
проведены прямые
PR и
QS, параллельные сторонам
BC и
AB
(точки
P,
Q,
R и
S лежат на сторонах
AB,
BC,
CD и
DA
соответственно). Докажите, что прямые
BS,
PD и
MC пересекаются в
одной точке.
Решение
В равнобедренном треугольнике
ABC (
AB=BC ) точка
O –
центр описанной окружности. Точка
M лежит на отрезке
BO ,
точка
M' симметрична
M оносительно середины
AB . Точка
K – точка пересечения
M'O и
AB . Точка
L на стороне
BC такова, что
CLO = BLM . Докажите, что
точки
O ,
K ,
B ,
L лежат на одной окружности.
Решение
Фильтр
