Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.
Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

В выпуклый четырёхугольник ABCD, у которого углы при вершинах B и D – прямые, вписан четырёхугольник с периметром P (его вершины лежат по одной на сторонах четырёхугольника ABCD).
  а) Докажите неравенство  P ≥ 2BD.
  б) В каких случаях это неравенство превращается в равенство?

Прислать комментарий

Решение

Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

Прислать комментарий

Решение

В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом A первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше A и при этом стоят правее A. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.
  а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).
  б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?

Прислать комментарий

Решение

Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.
Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Через S(n) обозначим сумму цифр числа n (в десятичной записи).
Существуют ли три таких различных натуральных числа m, n и p, что   m + S(m) = n+S(n) = p + S(p)?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]