Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано натуральное число  n > 1.  Для каждого делителя d числа  n + 1,  Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.

   Решение

---

В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть провод из точки A в точку B, расстояние между которыми равно l. Докажите, что для этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6l.

   Решение

---

Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.
Докажите, что α=γ или α=τ .

   Решение

---

В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой по телефону.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109573  (#94.4.11.1)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109574  (#94.4.11.2)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Индукция (прочее) ] [ Степень вершины ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой по телефону.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108202  (#94.4.11.3)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109576  (#94.4.11.4)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Средние величины ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В вершинах выпуклого n-угольника расставлены m фишек  (m > n).  За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60470  (#94.4.11.5)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями