Версия для печати
Убрать все задачи

---

Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из 2k элементов ( k – фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из (k+1)² элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.

   Решение

---

Докажите, что если числа a₁, a₂, ..., a_m  отличны от нуля и для любого целого  k = 0, 1, ..., n  (n < m – 1)  выполняется равенство:
a₁ + a₂·2^k + a₃·3^k + ... + a_mm^k = 0,  то в последовательности a₁, a₂, ..., a_m  есть по крайней мере  n + 1  пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109629  (#М1561)

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ] [ Покрытия ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109626  (#М1563)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Многочлены (прочее) ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Докажите, что если числа a₁, a₂, ..., a_m  отличны от нуля и для любого целого  k = 0, 1, ..., n  (n < m – 1)  выполняется равенство:
a₁ + a₂·2^k + a₃·3^k + ... + a_mm^k = 0,  то в последовательности a₁, a₂, ..., a_m  есть по крайней мере  n + 1  пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109621  (#М1564)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Теорема Виета ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Существует ли такое конечное множество M ненулевых действительных чисел, что для любого натурального n найдется многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого действительны и также принадлежат M?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109634  (#М1566)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Подсчет двумя способами ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по 80 человек в каждом.
Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырёх общих членов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109632  (#М1567)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Три окружности одного радиуса ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Центры O₁ , O₂ и O₃ трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O₁ , O₂ и O₃ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями