Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости дано N прямых  (N > 1),  никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие N, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.

   Решение

---

Решить в целых числах уравнение   ^xy/_z + ^xz/_y + ^yz/_x = 3.

   Решение

---

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n ?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109691  (#99.5.10.1)

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролик и Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые номера до начала игры определяются жребием. При этом Винни может добавлять орех только в первую или вторую банку, Кролик – только во вторую или третью, а Пятачок – в первую или третью.
Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов, проигрывает.
Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109692  (#99.5.10.2)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Числа Фибоначчи ] [ Ограниченность, монотонность ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108156  (#99.5.10.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC . Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109694  (#99.5.10.4)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Процессы и операции ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n² фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через [] ходов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109695  (#99.5.10.5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n ?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями