Версия для печати
Убрать все задачи

---

Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

   Решение

---

Докажите неравенство   sinⁿ2x + (sinⁿx – cosⁿx)² ≤ 1.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109707  (#00.5.11.1)

Тема:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Найдите все функции f : , которые для всех x,y,z удовлетворяют неравенству f(x+y)+f(y+z)+f(z+x) 3f(x+2y+3z).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109708  (#00.5.11.2)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке a, b, c, для которой  a + 99b = c,  нашлись два числа из одного подмножества.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109709  (#00.5.11.3)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ] [ Пятиугольники ] [ Теорема Пика ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A₁B₁C₁D₁E₁ (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109710  (#00.5.11.4)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Индукция в геометрии ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Дана последовательность неотрицательных чисел a₁ , a₂ , a_n . Для любого k от 1 до n обозначим через m_k величину

_l=1,2,..,k .
Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых m_k>α , меньше, чем a₁+a₂+...+a_n α.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109711  (#00.5.11.5)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите неравенство   sinⁿ2x + (sinⁿx – cosⁿx)² ≤ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями