Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клубе встретились двадцать джентльменов. Некоторые из них были в шляпах, а некоторые – без шляп. Время от времени один из джентльменов снимал с себя шляпу и надевал её на одного из тех, у кого в этот момент шляпы не было. В конце десять джентльменов подсчитали, что каждый из них отдавал шляпу большее количество раз, чем получал. Сколько джентльменов пришли в клуб в шляпах?

   Решение

---

На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.

   Решение

---

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

   Решение

---

В треугольнике ABC высота AH равна h, BAC = , BCA = . Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

---

Если дан ряд из 15 чисел

то можно написать второй ряд

где b_i(i = 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших a_i. Существует ли ряд чисел a_i, если дан ряд чисел b_i:

   Решение

---

Найдите наименьшее натуральное число n, для которого n² + 20n + 19 делится на 2019.

   Решение

---

Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?

   Решение

---

Докажите тождество:

   Решение

---

Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершины A и B треугольника ABC, пересекает отрезок BC в точке M и касается прямой AC в точке A. Найдите CM, зная, что  ∠ACO = α,  ∠MAB = β.

   Решение

---

Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.
Докажите, что α=γ или α=τ .

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109774  (#03.5.11.1)

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тригонометрические уравнения ] [ Производные высших порядков ] [ Методы математического анализа (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.
Докажите, что α=γ или α=τ .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108126  (#03.5.11.2)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки подобия ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S₁ и S₂ треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S₁ и S₂ в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём  OP : PL = MQ : QO.  Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109775  (#03.5.11.3)

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Системы счисления (прочее) ] [ Деление с остатком ] [ Метод спуска ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Даны многочлены  f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена  f. Известно, что для некоторых натуральных чисел  a < b  имеют место равенства  f(a) = g(a)  и  f(b) = g(b).  Докажите, что если  b > m,  то многочлены  f и g совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109776  (#03.5.11.4)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109777  (#03.5.11.5)

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Формула Герона ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами.
Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями