Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Фома и Ерёма делят кучку из 25 монет в 1, 2, 3, ..., 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету из кучки, а другой говорит, кому её отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве – тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерёма, или Ерёма всегда сможет Фоме помешать?

Вниз   Решение


На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

ВверхВниз   Решение


На продолжениях сторон CA и AB треугольника ABC за точки A и B соответственно отложены отрезки AE = BC и BF = AC. Окружность касается отрезка BF в точке N, стороны BC и продолжения стороны AC за точку C. Точка M – середина отрезка EF. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла A.

ВверхВниз   Решение


Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается ω. Окружность Ωb с центром P проходит через вершину B, а окружность Ωc с центром Q – через C. Докажите, что окружности Ω, Ωb и Ωc имеют общую точку.

ВверхВниз   Решение


Улицы города расположены в трёх направлениях, так что все кварталы – равные между собой равносторонние треугольники. Правила уличного движения таковы, что через перекресток можно проехать либо прямо, либо повернув влево или вправо на 120° в ближайшую улицу. Поворачивать разрешается только на перекрёстках. Две машины выехали друг за другом из одной точки в одном направлении и едут с одинаковой скоростью, придерживаясь этих правил. Может ли случиться, что через некоторое время они на какой-то улице (не на перекрёстке) встретятся?

ВверхВниз   Решение


Сколькими способами можно разложить семь монет различного достоинства по трём карманам?

ВверхВниз   Решение


Даны натуральное число  n > 3  и положительные числа x1, x2, ..., xn, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство  

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109808  (#04.5.9.1)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109809  (#04.5.9.2)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K1 , L1 , M1 , N1 – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K1L1M1N1 – параллелограмм.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109810  (#04.5.9.3)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков– белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какие-нибудь две коробочки, в которых лежат белые шарики?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109811  (#04.5.9.4)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Даны натуральное число  n > 3  и положительные числа x1, x2, ..., xn, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 109812  (#04.5.9.5)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что  m + n = p + q  и  

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .