Версия для печати
Убрать все задачи

---

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B₁C₁ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109841  (#06.5.11.4)

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B₁C₁ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109842  (#06.5.11.5)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 1,2

Последовательности положительных чисел (x_n) и (y_n) удовлетворяют условиям     при всех натуральных n. Докажите, что если все числа x₁, x₂, y₁, y₂ больше 1, то  x_n > y_n  при каком-нибудь натуральном n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109843  (#06.5.11.6)

Темы:   [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Высота пирамиды (тетраэдра) ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109844  (#06.5.11.7)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Четность и нечетность ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Известно, что многочлен  (x + 1)ⁿ – 1  делится на некоторый многочлен  P(x) = x^k + c_k–1x^k–1 + c_k–2x^k–2 + ... + c₁x + c₀  чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на  k + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями