Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что площадь параллелограмма, лежащего внутри треугольника, не превосходит половины площади треугольника.

   Решение

---

В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; M — такая точка диагонали AC, что четырехугольник BCDM вписанный. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM.

   Решение

---

В древнем шифре, известном под названием "Сцитала", использовалась полоска папируса, которая наматывалась на круглый стержень виток к витку без просветов и нахлестов. Далее, при горизонтальном положении стержня, на папирус построчно записывался текст сообщения. После этого полоска папируса с записанным на ней текстом посылалась адресату, имеющему точно такой же стержень, что позволяло ему прочитать сообщение. В наш адрес поступило сообщение, зашифрованное с помощью шифра "Сцитала". Однако его автор, заботясь о том, чтобы строчки были ровные, во время письма проводил горизонтальные линии, которые остались на полоске в виде черточек между буквами. Угол наклона этих черточек к краю ленты равен α, ширина полоски равна d, а ширина каждой строки равна h. Укажите, как, пользуясь имеющимися данными, прочитать текст.

   Решение

---

Дана функция f(x)= . Найдите f(.. f(f(19))..)95 раз .

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109870  (#95.4.10.8)

Темы:   [ Степень вершины ] [ Перестройки ] [ Раскраски ] [ Инварианты ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Улицы города Дужинска – простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрёстка и покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекрёсток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрёстков кратна 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109863  (#95.4.11.1)

Темы:   [ Итерации ] [ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дана функция f(x)= . Найдите f(.. f(f(19))..)95 раз .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109858  (#95.4.11.2)

Темы:   [ Свойства сечений ] [ Куб ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед – куб.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109874  (#95.4.11.3)

Темы:   [ Раскраски ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок – одним цветом).
Существует ли такая раскраска, что для любых трёх цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109859  (#95.4.11.4)

Темы:   [ Индукция в геометрии ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k+1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить не более чем на 2k-1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями