Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]

Задача 109917 (#97.4.10.5)

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Автор: Фомин А.

Дан набор, состоящий из таких 100 различных чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе положительно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109918 (#97.4.10.6)

Темы:	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Ященко И.В.

а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее десяти машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?

б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из десяти человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют два дня, один из которых полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение невыездных дней для автомобилей идёт последовательно?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108180 (#97.4.10.7)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

Точки O₁ и O₂ – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). Описанные окружности треугольников ABC и O₁O₂A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O₁O₂A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109920 (#97.4.10.8)

Темы:	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Иррациональные уравнения	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Сонкин М.

Докажите, что если

++=++= = ++
для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .

Прислать комментарий

Решение

Задача 109913 (#97.4.11.1)

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Рубанов И.С.

Микрокалькулятор МК-97 умеет над числами, занесенными в память, производить только три операции:
1) проверять, равны ли выбранные два числа,
2) складывать выбранные числа,
3) по выбранным числам a и b находить корни уравнения x² + ax + b = 0, а если корней нет, выдавать сообщение об этом.
Результаты всех действий заносятся в память. Первоначально в памяти записано одно число x. Как с помощью МК-97 узнать, равно ли это число единице?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]