Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 110017 (#99.4.10.1)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Ребусы	]
	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Акулич И.Ф.

К натуральному числу A приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до A . Найдите A .

Прислать комментарий Решение

Задача 108242 (#99.4.10.2)

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Кожевников П.А.

На плоскости дана окружность ω, точка A, лежащая внутри ω, и точка B, отличная от A. Рассматриваются всевозможные хорды XY, проходящие через точку A. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников BXY лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110004 (#99.4.10.3)

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Дольников В.Л., Игонин С.

В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n-3 точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих n-3 точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 110012 (#99.4.10.4)

Темы:	[	Процессы и операции	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Антонов М.

Лабиринт представляет собой квадрат 8×8, в каждой клетке 1×1 которого нарисована одна из четырёх стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки – выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на 90° по часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход, выводящий ее за пределы квадрата 8×8, она остается на месте, а стрелка также поворачивается на 90° по часовой стрелке. Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110005 (#99.4.10.5)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Авторы: Садыков Р., Черепанов Е.

Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]